Kerucut dan Irisan Kerucut

Kerucut: Pengertian, Jaring, Irisan, Rumus, Contoh Soal

Pengertian Kerucut

Secara umum, kerucut merupakan sebuah bangun ruang yang memiliki satu buah titik sudut dan dua buah sisi.

Salah satu sisinya adalah alas kerucut yang berbentuk lingkaran, dan sisi yang lain merupakan selimut bangun kerucut.

Di bawah ini merupakan gambar bangun kerucut beserta keterangannya:

Keterangan:

r: jari-jari alas kerucut

s: garis pelukis kerucut

t: tinggi kerucut

Benda-benda dalam kehidupan sehari-hari dengan bentuk seperti pada gambar di atas antara lain nasi tumpeng, topi ulang tahun, dan caping.

Jaring-jaring kerucut

Pada dasarnya, setiap bangun ruang memiliki jaring-jaring atau kerangka penyusunnya yang berupa bidang. Begitu pula pada bangun ruang kerucut yang memiliki jaring-jaring dengan jumlah bidang sebanyak dua buah seperti pada Gambar.1 dibawah ini:

Gambar.1 Jaring-jaring Limas

Irisan kerucut

Selain kerangka atau jaring-jaring kerucut, terdapat pula sebuah istilah yang disebut “irisan kerucut”.

Irisan kerucut adalah lokus dari semua titik yang membentuk kurva dua dimensi dan terbentuk oleh irisan sebuah kerucut dengan sebuah bidang datar.

Irisan kerucut memiliki 4 (empat) jenis, yaitu:

1. Parabola

Irisan dengan bentuk parabola akan didapatkan apabila bidang datar memotong satu kerucut (Gambar.2 poin a)

2. Hiperbola

Irisan dengan bentuk hiperbola akan didapatkan apabila bidang datar memotong dua kerucut (Gambar.2 poin b)

3. Elips

Irisan dengan bentuk elips akan didapatkan apabila bidang datar memotong satu kerucut secara tidak tegak lurus dengan garis sumbu utama (Gambar.2 poin c)

4. Lingkaran

Irisan dengan bentuk lingkaran akan didapatkan apabila bidang datar memotong satu kerucut secara tegak lurus dengan garis sumbu utama (Gambar.2 poin d)

Gambar.2 Irisan Kerucut Di Limas

Dari gambar di atas, dapat diketahui bagaimana sebuah bidang memotong kerucut dan membentuk sebuah irisan kerucut.

Rumus kerucut

Setelah kita mengetahui apa itu kerucut dan bagaimana bentuk, kerangka, serta irisannya, sekarang kita akan mengetahui bahwa kerucut adalah sebuah bangun ruang.

Karenanya, kerucut pasti memiliki volume. Volume dari sebuah kerucut dapat dihitung dengan mengalikan luas alas kerucut (luas lingkaran) dengan tinggi kerucut yang dirumuskan seperti di bawah ini:

V = ⅓ × πr2 × t

dengan

• V = Volume Kerucut
• 
• r = jari – jari alas
• t = tinggi kerucut

Selain volume, kerucut juga memiliki permukaan yang dapat dihitung pula luasnya. Rumus luas permukaan kerucut adalah sebagai berikut:

L = πr2 + πrs

dengan

• L = Luas Permukaan Kerucut
• s = Garis Pelukis Kerucut

Selanjutnya akan diberikan contoh soal tentang menghitung volume dan luas permukaan kerucut.

Contoh soal Kerucut

Nisa genap berumur 20 tahun pada akhir Mei tahun ini. Karena itu, Nisa mengadakan acara syukuran yang diadakan di rumahnya. Pada acara syukuran tersebut, terdapat sebuah nasi tumpeng berbentuk kerucut yang memiliki tinggi 24 cm dan diameter 20 cm. Hitunglah volume dan luas permukaan nasi tumpeng tersebut.

Pembahasan

Jadi, volume nasi tumpeng tersebut adalah 800π cm3 dan luas permukaannya adalah 360π cm3.

Cara cepat menghitung volume dan luas permukaan kerucut

Dalam penghitungan volume kerucut, tidak ada rumus cepat yang dapat dilakukan. Namun perlu dipahami bahwa setiap bangun ruang yang serupa dengan limas memiliki rumus volume yang sama, yaitu:

V = ⅓ × Luas alas × Tinggi Kerucut

Cara penghitungan tersebut akan menjadi sangat efisien sehingga menghemat waktu dengan catatan sudah pengguna rumus cepat sudah menghafal rumus menghitung luas bangun datar.

Kemudian untuk penghitungan luas permukaan kerucut, rumus awal dapat disederhanakan menggunakan proses aljabar menjadi:

L = π r (r + s)

Contoh soal

Sebuah topi ulang tahun berbentuk kerucut memiliki diameter, tinggi, dan garis pelukis. Hitung volume dan luas permukaan topi ulang tahun tersebut!

Pembahasan

Jadi, volume topi ulang tahun adalah 3π cm3 dan luas permukaannya sama dengan luas selimut karena berlubang (tidak ada alasnya) yaitu 7,5π cm2.

 Irisan Kerucut: Pengertian, Rumus, Ilustrasi, Soal

Artikel ini akan membahas mengenai irisan kerucut.

Apakah kalian sudah pernah mempelajari materi persamaan kuadrat?

Bagaimana bentuk umum dari persamaan kuadrat tersebut? Materi-materi tersebut menjadi salah satu syarat dalam mempelajari materi ini.

Selain mengenai persamaan kuadrat, kalian juga harus mengetahui seperti apakah bangun kerucut dan berbagai jenis irisan kerucut yang akan dijelaskan pada bagian di bawah ini.

Pengertian Irisan Kerucut

Irisan kerucut merupakan suatu lokus yang berbentuk kurva dua dimensi sebagai irisan dari bangun kerucut.

Selain itu, irisan kerucut juga dapat dijelaskan sebagai suatu kumpulan titik-titik yang memiliki perbandingan jarak yang sama terhadap suatu titik tertentu.

Beberapa jenis irisan kerucut yaitu lingkaran, parabola, hiperbola, dan elips. Namun, pembahasan pada artikel irisan kerucut ini mencakup parabola, hiperbola, dan elips.

Berikut merupakan gambar irisan kerucut.

Berikut akan dijelaskan contoh penerapan irisan kerucut.

Baca juga Bangun Ruang.

Contoh Penerapan Irisan Kerucut

Beberapa objek atau benda yang kita jumpai dalam kehidupan sehari-hari dapat memiliki bentuk seperti irisan kerucut di atas.

Beberapa objek atau benda tersebut seperti bentuk antena parabola yang memiliki bentuk menyerupai parabola, bentuk lintasan planet dalam tata surya menyerupai bentuk elips, dan contoh bentuk yang menyerupai irisan kerucut lainnya.

Berikut ini akan dijelaskan mengenai parabola.

Parabola

Apakah kalian sudah mengetahui mengenai parabola?

Parabola dapat didefinsikan sebagai kumpulan titik-titik yang memiliki jarak yang titik tersebut dengan titik fokus sama dengan jarak titik tersebut terhadap garis direktris.

Perhatikan gambar berikut.

Dengan menerapkan konsep jarak, diperoleh:

|PF| = √((x – p)2 + (y – 0)2) = √((x – p)2 + y2)

|PQ| = √((x + p)2 + (y – y)2) = √(x – p)2

Karena |PF| = |PQ| maka diperoleh hubungan

√((x – p)2 + y2) = √(x – p)2

(x – p)2 + y2  = (x – p)2 

x2 – 2px + p2 + y2 = x2 + 2px + p2

y2 = 4px

Diperoleh persamaan parabola yaitu dengan titik puncak O(0,0) dan titik focus F(p, 0) adalah y2 = 4px.

Selanjutnya akan dijelaskan mengenai hiperbola.

Hiperbola

Hiperbola merupakan himpunan titik-titik yang selisih jarak terhadap  dua titik api (focus) adalah sama. Perhatikan gambar berikut.

Keterangan:

• Fokus (titik api) yaitu F1 (-c, 0) dan F2 (c, 0).
• Pusat hiperbola yaitu O (0, 0), sehingga OF1 = OF2.
• Sumbu simetri terdiri dari sumbu simetri utama yaitu sumbu X dan sumbu sekawan yaitu Y.
• Sumbu nyata yaitu AB = 2a, sedangkan sumbu imajiner yaitu CD = 2c.

Berikut ini akan dijelaskan mengenai elips.

Elips

Apakah kalian tahu apa itu elips?

Elips adalah himpunan titik-titik dengan jumlah jarak tiap titik terhadap dua titik focus (titik api) yang bukan elemen himpunan tersebut adalah tetap.

Pada gambar di bawah ini titik focus atau titik api adalah F1 dan F2. Jumlah jarak yang tetap yaitu 2a (a > 0) serta jarak F1 dan F2 adalah 2c.

Keterangan:

• Titik pusat elips yaitu O (0, 0).
• Titik focus elips: F1 (-c, 0) dan F2 (c, 0)
• Sumbu mayor  merupakan sumbu yang melalui focus F1 dan F2.
• Sumbu minor adalah sumbu yang melalui pusat dan tegak lurus dengan sumbu mayor.
• Sumbu utama (transvers axis) merupakan sumbu x.
• Sumbu sekawan (conjugate axis) merupakan garis sumbu F1F2.

Secara umum, persamaan elips dapat dituliskan sebagai berikut.

(x – p)2/a2 + (y – q)2/b2 = 1

Keterangan:

• (p, q) : koordinat titik pusat elips.
• a : ½ x Panjang sumbu mayor.
• b : ½ x Panjang sumbu minor.

Berikut akan dijelaskan mengenai rumus dalam irisan kerucut.

Baca juga Transformasi Geometri.

Rumus Irisan Kerucut

Dalam pembahasan ini akan dijelaskan rumus pada parabola, hiperbola, dan elips.

Rumus Parabola

Persamaan parabola dengan titik puncak O (0, 0).

Parabola yang terbuka ke kanan → y2 = 4px

Parabola yang terbuka ke kiri → y2 = -4px

Parabola yang terbuka ke atas → x2 = 4py

Parabola yang terbuka ke bawah → x2 = -4py

Rumus Hiperbola

Persamaan hiperbola dengan pusat O (0, 0).

Hiperbola terbuka ke atas dan ke bawah:

x2/a2 – y2/b2 = 1

Hiperbola terbuka ke kanan dan ke kiri:

y2/a2 – x2/b2 = 1

keterangan:

• a : ½ x Panjang sumbu nyata
• b : ½ x panjang sumbu imajiner

Rumus Elips

Persamaan elips dengan pusat O (0, 0):

Sumbu mayornya berhimpit dengan sumbu-x:

x2/a2 + y2/b2 = 1 dengan a > b.

Sumbu mayornya berhimpit dengan sumbu-y:

x2/b2 + y2/a2 = 1

Keterangan:

• a : ½ x Panjang sumbu mayor
• b : ½ x Panjang sumbu minor

Agar lebih memahami konsep irisan kerucut, coba kerjakan soal berikut ini.

Baca juga Bola.

Contoh Soal Irisan Kerucut

1. Diketahui suatu persamaan parabola yaitu y2 = 8x. Tentukan titik focus dan titik puncak parabola tersebut.

Pembahasan

Persamaan y2 = 8x, sehingga p = 2.

Koordinat titik fokusnya yaitu (2, 0).

Koordinat titik puncak yaitu (0, 0).

2. Tentukan titik pusat, titik focus, dan titik puncak hiperbola dengan persamaan y2 – 2x2 = 8.

Pembahasan

Persamaan hiperbola y2 – 2x2 = 8 diubah menjadi y2/8 – x2/4 = 1.

a2 = 8 à a = 2√2

b2 = 4 à b = 2

c2 = a2 + b2 à c = √(8 + 4) = √12 = 2√3

titik pusatnya yaitu pada O (0, 0).

Titik fokusnya yaitu (0, -c) = (0, -2√3) dan (0, c) = (0, 2√3).

Titik puncaknya yaitu (0, -a) = (0, -2√2) dan (0, a) = (0, 2√2)

3. Diketahui suatu elips dengan pusat O (0, 0), salah satu fokusnya terdapat pada (0, 3), dan Panjang sumbu mayornya adalah 10. Tentukan persamaan elips tersebut.

Pembahasan

Pusat (0, 0). Fokus (0, 3) à c = 3.

Panjang sumbu mayor 2a = 10 à a = 5

a2 = 25

b2 = a2 – c2 à b2 = 25 – 9 = 16.

Persamaan elips: x2/16 + y2/25 = 1

Mari kita simpulkan materi irisan kerucut yang sudah kita pelajari.

Kesimpulan

• Irisan kerucut merupakan suatu lokus yang berbentuk kurva dua dimensi sebagai irisan dari bangun kerucut.
• Irisan kerucut terdiri dari lingkaran, parabola, hiperbola, dan elips.
• Parabola dapat didefinsikan sebagai kumpulan titik-titik yang memiliki jarak yang titik tersebut dengan titik fokus sama dengan jarak titik tersebut terhadap garis direktris.
• Hiperbola merupakan himpunan titik-titik yang selisih jarak terhadap  dua titik api (focus) adalah sama.
• Elips adalah himpunan titik-titik dengan jumlah jarak tiap titik terhadap dua titik focus (titik api) yang bukan elemen himpunan tersebut adalah tetap.

Demikian pembahasan mengenai irisan kerucut. Semoga bermanfaat. Baca juga Geometri.

Read More

Distribusi Normal

 Distribusi Normal: Pengertian, Rumus, Contoh Soal

Pembahasan artikel kali ini mengenai distribusi normal.

Pernahkah kalian mengetahui distribusi normal?

Distribusi normal merupakan salah satu pembahasan dalam statistika yang berkaitan dengan distribusi peluang (distribusi probabilitas).

Tentu kalian sudah tahu kan mengenai distribusi dari suatu variabel diskret dan variabel kontinu.

Distribusi normal ini merupakan salah satu distribusi dari suatu variable yang kontinu.

Berikut ini akan dijelaskan terlebih dahulu mengenai distribusi normal.

Pengertian Distribusi Normal

Apa itu distribusi normal?

Distribusi normal merupakan salah satu jenis distribusi dengan variabel acak yang kontinu.

Pada distribusi normal terdapat kurva/grafik yang digambarkan menyerupai bentuk lonceng.

Distribusi normal dapat disebut juga sebagai distribusi Gauss. Persamaan yang terdapat dalam distribusi normal salah satunya yaitu terkait fungsi densitas.

Berikut merupakan fungsi densitas pada distribusi normal.

Rumus Distribusi Normal

Keterangan:

• π : konstanta dengan nilai 3,14159. . .
• e  : bilangan eksponensial dengan nilai 2,7183 . . .
• µ  : rata-rata (mean) dari data
• σ  : simpangan baku data berdistribusi normal

Bagaimana cara untuk menghitung nilai z? Nilai z dapat dihitung dengan rumus berikut.

z = (x – µ)/σ

Keterangan:

• µ  : rata-rata (mean) dari data
• σ  : simpangan baku data berdistribusi normal

Pada bagian sebelumnya dijelaskan bahwa data yang berdistribusi normal memiliki kurva yang berbentuk menyerupai lonceng.

Bentuk kurva dari data berdistribusi normal yaitu sebagai berikut.

Kurva distribusi normal

Berdasarkan kurva distribusi normal di atas, distribusi normal memiliki rata-rata (mean) sama dengan 0 dan simpangan baku sama dengan 1.

Berikut ini akan dijelaskan mengenai beberapa contoh penerapan distribusi normal.

Baca juga Mean, Median, Modus.

Penerapan Distribusi Normal

Distribusi normal sangat penting untuk dipelajari terutama dalam melakukan analisis data statistika.

Dengan data yang diambil secara acak dan berdistribusi normal akan memudahkan dalam melakukan analisis dan meramalkan serta mengambil kesimpulan untuk cakupan yang lebih luas.

Distribusi normal banyak diterapkan dalam berbagai perhitungan statistika dan pemodelan yang berguna dalam berbagai bidang.

Dalam menentukan distribusi probabilitas diperlukan tabel z dari distribusi normal.

Tabel Z Distribusi Normal

Berikut merupakan tabel nilai z pada data yang berdistribusi normal.

Tabel Z distribusi normal

Pada tabel di atas terdapat acuan pada baris dan kolomnya. Hal tersebut untuk memudahkan dalam menentukan nilai z.

Berikut langkah-langkah dalam menentukan nilai z.

1. Perhatikan pada bagian kolom awal. Misalkan kita akan menentukan nilai untuk 1,56. Maka langkah pertama kita mencari pada baris 1,5.
2. Perhatikan pada baris awal. Carilah nilai 0,06.
3. Tentukan titik temu (sel) dari baris dan kolom yang dimaksud. Nilai z untuk 1,56 adalah 0,9406.

Berikut merupakan contoh soal terkait distribusi kelompok untuk meningkatkan pemahaman kalian.

Baca juga Aturan Sinus dan Cosinus.

Contoh Soal Distribusi Kelompok

Dalam suatu ujian terdapat 300 siswa yang mengikuti ujian tersebut. Rata-rata dari hasil ujian yaitu 70 serta simpangan baku hasil ujian tersebut adalah 10.

Jika data nilai hasil ujian siswa tersebut berdistribusi normal, maka berapa persen mahasiswa yang mendapat nilai A jika syarat untuk mendapatkan nilai A adalah nilai lebih dari 85.

Pembahasan

Berdasarkan contoh soal di atas, diperoleh informasi sebagai berikut.

µ  = 70

σ  = 10

x  = 85

akan ditentukan Z(X>85).

Z(X > 85) = 1 – Z(X < 85)

Akan dihitung terlebih dahulu nilai dari Z (X < 85)

Z = (85 – 70)/10 = 15/10 = 1,5

Nilai Z untuk 1,50 adalah 0,9332, sehingga

Z(X > 85) = 1 – Z(X < 85)

Z(X > 85) = 1 – 0,9332

Z(X > 85) = 0,0668

Z(X > 85) = 6,68%

Mari kita simpulkan materi mengenai distribusi normal.

Kesimpulan

Distribusi normal merupakan salah satu jenis distribusi dengan variabel acak yang kontinu. Pada distribusi normal terdapat kurva/grafik yang digambarkan menyerupai bentuk lonceng.

Untuk menentukan nilai z atau z-score  dapat digunakan rumus berikut.

z = (x – µ)/σ

Tabel nilai z pada distribusi normal digunakan untuk mempermudah dalam menentukan z-score.

Demikian pembahasan pada artikel dengan judul “Distribusi Normal”, semoga artikel ini dapat berguna bagi kalian dalam mempelajari materi statistika selanjutnya. Terima kasih. Baca juga Turunan.

Read More

Polinomial

Polinomial: Pengertian, Rumus, Contoh Soal

Pernahkah kalian mendengar kata polinomial? Polinomial biasa juga disebut dengan suku banyak.

Lalu apa itu suku banyak? Lebih jelasnya mari kita simak materi dibawah ini.

Pengertian Polinomial

Dalam dunia matematika, polinomial atau suku banyak adalah pernyataan matematis yang berhubungan dengan jumlahan perkalian pangkat dalam satu atau lebih variabel dengan koefisien.

Bentuk umum dari suatu polinomial adalah sebagai berikut

anxn+…+a2x2+a1x1+a0

dimana a merupakan koefisien konstan, dan pangkat tertinggi pada polinomial tersebut menandakan orde atau derajatnya, sehingga polinomial diatas memiliki derajat atau orde n.

Pembagian Polinomial

Pada umumnya, bentuk umum dari pembagian polinomial adalah

F(x) = P(x) × H(x) + S(x)

Dimana

• F(x) : suku banyak
• H(x) : hasil bagi
• P(x) : pembagi
• S(x) : sisa

Sebelum kita memahami metode pembagian polinomial, terlebih dahulu kita harus mengetahui tentang teorema sisa yaitu

Misalkan F(x) merupakan polinomial berderajat n,

Jika F(x) dibagi (x-k) maka hasilnya adalah F(k)

Jika F(x) dibagi (ax-b) maka hasilnya adalah F(b/a)

Jika F(x) dibagi (x-a)(x-b) maka hasilnya adalah

Kemudian untuk metode pembagian polinomial terdapat beberapa cara, diantaranya

1. Metode Pembagian Biasa

Contohnya adalah jika 2x3 – 3x2 + x + 5 dibagi dengan 2x2 – x – 1

maka hasil bagi dan sisanya adalah hasil bagi = x-1 dan sisa = x+4

2. Metode Horner

Metode ini dipakai untuk pembagi yang berderajat 1 ataupun pembagi berderajat n yang bisa difaktorkan jadi pembagi-pembagi dengan derajat 1.

Langkah langkah :

1) Tulis koefisien dari polinomialnya → harus urut dari koefisien xn, xn – 1, … hingga konstanta (untuk variabel yang tidak memiliki koefisien, maka ditulis 0). Misalkan untuk 5x3 – 8, koefisien-koefisiennya adalah 5, 0, 0, dan -8

2) Untuk koefisien dengan derajat tertinggi P(x) ≠ 1, hasil baginya harus dibagi dengan koefisien derajat tertinggi P(x)

3) Jika pembagi dapat difaktorkan menjadi

• P1 dan P2, maka S(x) = P1 × S2 + S1
• P1, P2, P3, maka S(x) = P1×P2×S3 + P1×S2 + S1
• P1, P2, P3, P4, maka S(x) = P1×P2×P3×S4 + P1×P2×S3 + P1×S2 + S1
• dan seterusnya

Untuk lebih jelasnya, mari simak contoh berikut ini

Misalkan diketahui

F(x) = 2x3 – 3x2 + x + 5

P(x) =  2x2 – x – 1

Tentukan hasil bagi dan sisanya

Jawab :

F(x) = 2x3 – 3x2 + x + 5

P(x) =  2x2 – x – 1 = (2x + 1)(x – 1)

Sehingga p1 : (2x + 1) = 0 -> x = -1/2 dan p2 : (x – 1) = 0 -> x = 1

Kemudian langkah hornernya ditunjukkan pada gambar berikut

Jadi, diperoleh hasil dan sisanya sebagai berikut

H(x) = x-1

S(x) = P1×S2 + S1 = x + 4

3. Metode Koefisien Tak Tentu

Pada dasarnya, metode ini dikerjakan dengan cara mensubstitusikan F(x) berderajat m dan P(x) berderajat n ke dalam bentuk umum pembagian polinomial, kemudian H(x) dan S(x) nya diisi dengan

H(x) merupakan polinomial berderajat k, dimana k = m – n

S(x) merupakan polinomial berderajat n-k

Lebih jelasnya akan dibahas pada contoh soal.

Baca juga Lingkaran.

Contoh Soal Polinomial

Misalkan diketahui

F(x) = 2x3 – 3x2 + x + 5

P(x) =  2x2 – x – 1

Tentukan hasil bagi dan sisanya menggunakan metode tak tentu

Pembahasan

m = 3, n = 2, k = 1

H(x) berderajat 1 misalkan H(x) = ax+b

S(x) berderajat 2-1=1 misalkan S(x) = px+q

Substitusikan F(x), P(x), H(x), S(x) ke persamaan

F(x) = P(x) . H(x) + S(x), maka diperoleh

2x3 – 3x2 + x + 5 = (2x2 – x – 1)(ax+b) + px+q

2x3 – 3x2 + x + 5 = 2ax3 + 2bx2 – ax2 – bx – ax – b + px + q

(2)x3 + (– 3)x2 + (1)x + (5) = (2a)x3 + (2b – a)x2 + (– b – a + p) x + (– b + q)

Kemudian samakan koefisien dari ruas kiri dan kanan menjadi

2a = 2

a = 1

2b – a = -3

2b – 1 = -3

2b = -2

b = -1

– b – a + p = 1

1 – 1 + p = 1

p = 1

– b + q = 5

1 + q = 5

q = 4

Jadi,

H(x) = ax + b = x – 1

S(x) = px + q = x + 4

Nah, sekian penjelasan mengenai polinomial, semoga semakin membuat paham ya, terima kasih. Baca juga Distribusi Normal.

Read More