Kerucut: Pengertian, Jaring, Irisan, Rumus, Contoh Soal
Pengertian Kerucut
Secara umum, kerucut merupakan sebuah bangun ruang yang memiliki satu buah titik sudut dan dua buah sisi.
Salah satu sisinya adalah alas kerucut yang berbentuk lingkaran, dan sisi yang lain merupakan selimut bangun kerucut.
Di bawah ini merupakan gambar bangun kerucut beserta keterangannya:
Keterangan:
r: jari-jari alas kerucut
s: garis pelukis kerucut
t: tinggi kerucut
Benda-benda dalam kehidupan sehari-hari dengan bentuk seperti pada gambar di atas antara lain nasi tumpeng, topi ulang tahun, dan caping.
Jaring-jaring kerucut
Pada dasarnya, setiap bangun ruang memiliki jaring-jaring atau kerangka penyusunnya yang berupa bidang. Begitu pula pada bangun ruang kerucut yang memiliki jaring-jaring dengan jumlah bidang sebanyak dua buah seperti pada Gambar.1 dibawah ini:
Irisan kerucut
Selain kerangka atau jaring-jaring kerucut, terdapat pula sebuah istilah yang disebut “irisan kerucut”.
Irisan kerucut adalah lokus dari semua titik yang membentuk kurva dua dimensi dan terbentuk oleh irisan sebuah kerucut dengan sebuah bidang datar.
Irisan kerucut memiliki 4 (empat) jenis, yaitu:
1. Parabola
Irisan dengan bentuk parabola akan didapatkan apabila bidang datar memotong satu kerucut (Gambar.2 poin a)
2. Hiperbola
Irisan dengan bentuk hiperbola akan didapatkan apabila bidang datar memotong dua kerucut (Gambar.2 poin b)
3. Elips
Irisan dengan bentuk elips akan didapatkan apabila bidang datar memotong satu kerucut secara tidak tegak lurus dengan garis sumbu utama (Gambar.2 poin c)
4. Lingkaran
Irisan dengan bentuk lingkaran akan didapatkan apabila bidang datar memotong satu kerucut secara tegak lurus dengan garis sumbu utama (Gambar.2 poin d)
Dari gambar di atas, dapat diketahui bagaimana sebuah bidang memotong kerucut dan membentuk sebuah irisan kerucut.
Rumus kerucut
Setelah kita mengetahui apa itu kerucut dan bagaimana bentuk, kerangka, serta irisannya, sekarang kita akan mengetahui bahwa kerucut adalah sebuah bangun ruang.
Karenanya, kerucut pasti memiliki volume. Volume dari sebuah kerucut dapat dihitung dengan mengalikan luas alas kerucut (luas lingkaran) dengan tinggi kerucut yang dirumuskan seperti di bawah ini:
V = ⅓ × πr2 × t
dengan
- V = Volume Kerucut
- r = jari – jari alas
- t = tinggi kerucut
Selain volume, kerucut juga memiliki permukaan yang dapat dihitung pula luasnya. Rumus luas permukaan kerucut adalah sebagai berikut:
L = πr2 + πrs
dengan
- L = Luas Permukaan Kerucut
- s = Garis Pelukis Kerucut
Selanjutnya akan diberikan contoh soal tentang menghitung volume dan luas permukaan kerucut.
Contoh soal Kerucut
Nisa genap berumur 20 tahun pada akhir Mei tahun ini. Karena itu, Nisa mengadakan acara syukuran yang diadakan di rumahnya. Pada acara syukuran tersebut, terdapat sebuah nasi tumpeng berbentuk kerucut yang memiliki tinggi 24 cm dan diameter 20 cm. Hitunglah volume dan luas permukaan nasi tumpeng tersebut.
Jadi, volume nasi tumpeng tersebut adalah 800π cm3 dan luas permukaannya adalah 360π cm3.
Cara cepat menghitung volume dan luas permukaan kerucut
Dalam penghitungan volume kerucut, tidak ada rumus cepat yang dapat dilakukan. Namun perlu dipahami bahwa setiap bangun ruang yang serupa dengan limas memiliki rumus volume yang sama, yaitu:
V = ⅓ × Luas alas × Tinggi Kerucut
Cara penghitungan tersebut akan menjadi sangat efisien sehingga menghemat waktu dengan catatan sudah pengguna rumus cepat sudah menghafal rumus menghitung luas bangun datar.
Kemudian untuk penghitungan luas permukaan kerucut, rumus awal dapat disederhanakan menggunakan proses aljabar menjadi:
L = π r (r + s)
Contoh soal
Sebuah topi ulang tahun berbentuk kerucut memiliki diameter, tinggi, dan garis pelukis. Hitung volume dan luas permukaan topi ulang tahun tersebut!
Jadi, volume topi ulang tahun adalah 3π cm3 dan luas permukaannya sama dengan luas selimut karena berlubang (tidak ada alasnya) yaitu 7,5π cm2.
Irisan Kerucut: Pengertian, Rumus, Ilustrasi, Soal
Artikel ini akan membahas mengenai irisan kerucut.
Apakah kalian sudah pernah mempelajari materi persamaan kuadrat?
Bagaimana bentuk umum dari persamaan kuadrat tersebut? Materi-materi tersebut menjadi salah satu syarat dalam mempelajari materi ini.
Selain mengenai persamaan kuadrat, kalian juga harus mengetahui seperti apakah bangun kerucut dan berbagai jenis irisan kerucut yang akan dijelaskan pada bagian di bawah ini.
Pengertian Irisan Kerucut
Irisan kerucut merupakan suatu lokus yang berbentuk kurva dua dimensi sebagai irisan dari bangun kerucut.
Selain itu, irisan kerucut juga dapat dijelaskan sebagai suatu kumpulan titik-titik yang memiliki perbandingan jarak yang sama terhadap suatu titik tertentu.
Beberapa jenis irisan kerucut yaitu lingkaran, parabola, hiperbola, dan elips. Namun, pembahasan pada artikel irisan kerucut ini mencakup parabola, hiperbola, dan elips.
Berikut merupakan gambar irisan kerucut.
Berikut akan dijelaskan contoh penerapan irisan kerucut.
Baca juga Bangun Ruang.
Contoh Penerapan Irisan Kerucut
Beberapa objek atau benda yang kita jumpai dalam kehidupan sehari-hari dapat memiliki bentuk seperti irisan kerucut di atas.
Beberapa objek atau benda tersebut seperti bentuk antena parabola yang memiliki bentuk menyerupai parabola, bentuk lintasan planet dalam tata surya menyerupai bentuk elips, dan contoh bentuk yang menyerupai irisan kerucut lainnya.
Berikut ini akan dijelaskan mengenai parabola.
Parabola
Apakah kalian sudah mengetahui mengenai parabola?
Parabola dapat didefinsikan sebagai kumpulan titik-titik yang memiliki jarak yang titik tersebut dengan titik fokus sama dengan jarak titik tersebut terhadap garis direktris.
Perhatikan gambar berikut.
Dengan menerapkan konsep jarak, diperoleh:
|PF| = √((x – p)2 + (y – 0)2) = √((x – p)2 + y2)
|PQ| = √((x + p)2 + (y – y)2) = √(x – p)2
Karena |PF| = |PQ| maka diperoleh hubungan
√((x – p)2 + y2) = √(x – p)2
(x – p)2 + y2 = (x – p)2
x2 – 2px + p2 + y2 = x2 + 2px + p2
y2 = 4px
Diperoleh persamaan parabola yaitu dengan titik puncak O(0,0) dan titik focus F(p, 0) adalah y2 = 4px.
Selanjutnya akan dijelaskan mengenai hiperbola.
Hiperbola
Hiperbola merupakan himpunan titik-titik yang selisih jarak terhadap dua titik api (focus) adalah sama. Perhatikan gambar berikut.
Keterangan:
- Fokus (titik api) yaitu F1 (-c, 0) dan F2 (c, 0).
- Pusat hiperbola yaitu O (0, 0), sehingga OF1 = OF2.
- Sumbu simetri terdiri dari sumbu simetri utama yaitu sumbu X dan sumbu sekawan yaitu Y.
- Sumbu nyata yaitu AB = 2a, sedangkan sumbu imajiner yaitu CD = 2c.
Berikut ini akan dijelaskan mengenai elips.
Elips
Apakah kalian tahu apa itu elips?
Elips adalah himpunan titik-titik dengan jumlah jarak tiap titik terhadap dua titik focus (titik api) yang bukan elemen himpunan tersebut adalah tetap.
Pada gambar di bawah ini titik focus atau titik api adalah F1 dan F2. Jumlah jarak yang tetap yaitu 2a (a > 0) serta jarak F1 dan F2 adalah 2c.
Keterangan:
- Titik pusat elips yaitu O (0, 0).
- Titik focus elips: F1 (-c, 0) dan F2 (c, 0)
- Sumbu mayor merupakan sumbu yang melalui focus F1 dan F2.
- Sumbu minor adalah sumbu yang melalui pusat dan tegak lurus dengan sumbu mayor.
- Sumbu utama (transvers axis) merupakan sumbu x.
- Sumbu sekawan (conjugate axis) merupakan garis sumbu F1F2.
Secara umum, persamaan elips dapat dituliskan sebagai berikut.
(x – p)2/a2 + (y – q)2/b2 = 1
Keterangan:
- (p, q) : koordinat titik pusat elips.
- a : ½ x Panjang sumbu mayor.
- b : ½ x Panjang sumbu minor.
Berikut akan dijelaskan mengenai rumus dalam irisan kerucut.
Baca juga Transformasi Geometri.
Rumus Irisan Kerucut
Dalam pembahasan ini akan dijelaskan rumus pada parabola, hiperbola, dan elips.
Rumus Parabola
Persamaan parabola dengan titik puncak O (0, 0).
Parabola yang terbuka ke kanan → y2 = 4px
Parabola yang terbuka ke kiri → y2 = -4px
Parabola yang terbuka ke atas → x2 = 4py
Parabola yang terbuka ke bawah → x2 = -4py
Rumus Hiperbola
Persamaan hiperbola dengan pusat O (0, 0).
Hiperbola terbuka ke atas dan ke bawah:
x2/a2 – y2/b2 = 1
Hiperbola terbuka ke kanan dan ke kiri:
y2/a2 – x2/b2 = 1
keterangan:
- a : ½ x Panjang sumbu nyata
- b : ½ x panjang sumbu imajiner
Rumus Elips
Persamaan elips dengan pusat O (0, 0):
Sumbu mayornya berhimpit dengan sumbu-x:
x2/a2 + y2/b2 = 1 dengan a > b.
Sumbu mayornya berhimpit dengan sumbu-y:
x2/b2 + y2/a2 = 1
Keterangan:
- a : ½ x Panjang sumbu mayor
- b : ½ x Panjang sumbu minor
Agar lebih memahami konsep irisan kerucut, coba kerjakan soal berikut ini.
Baca juga Bola.
Contoh Soal Irisan Kerucut
1. Diketahui suatu persamaan parabola yaitu y2 = 8x. Tentukan titik focus dan titik puncak parabola tersebut.
Persamaan y2 = 8x, sehingga p = 2.
Koordinat titik fokusnya yaitu (2, 0).
Koordinat titik puncak yaitu (0, 0).
2. Tentukan titik pusat, titik focus, dan titik puncak hiperbola dengan persamaan y2 – 2x2 = 8.
Persamaan hiperbola y2 – 2x2 = 8 diubah menjadi y2/8 – x2/4 = 1.
a2 = 8 à a = 2√2
b2 = 4 à b = 2
c2 = a2 + b2 à c = √(8 + 4) = √12 = 2√3
titik pusatnya yaitu pada O (0, 0).
Titik fokusnya yaitu (0, -c) = (0, -2√3) dan (0, c) = (0, 2√3).
Titik puncaknya yaitu (0, -a) = (0, -2√2) dan (0, a) = (0, 2√2)
3. Diketahui suatu elips dengan pusat O (0, 0), salah satu fokusnya terdapat pada (0, 3), dan Panjang sumbu mayornya adalah 10. Tentukan persamaan elips tersebut.
Pusat (0, 0). Fokus (0, 3) à c = 3.
Panjang sumbu mayor 2a = 10 à a = 5
a2 = 25
b2 = a2 – c2 à b2 = 25 – 9 = 16.
Persamaan elips: x2/16 + y2/25 = 1
Mari kita simpulkan materi irisan kerucut yang sudah kita pelajari.
Kesimpulan
- Irisan kerucut merupakan suatu lokus yang berbentuk kurva dua dimensi sebagai irisan dari bangun kerucut.
- Irisan kerucut terdiri dari lingkaran, parabola, hiperbola, dan elips.
- Parabola dapat didefinsikan sebagai kumpulan titik-titik yang memiliki jarak yang titik tersebut dengan titik fokus sama dengan jarak titik tersebut terhadap garis direktris.
- Hiperbola merupakan himpunan titik-titik yang selisih jarak terhadap dua titik api (focus) adalah sama.
- Elips adalah himpunan titik-titik dengan jumlah jarak tiap titik terhadap dua titik focus (titik api) yang bukan elemen himpunan tersebut adalah tetap.
Demikian pembahasan mengenai irisan kerucut. Semoga bermanfaat. Baca juga Geometri.
Tidak ada komentar:
Posting Komentar